Sayısal yetenekler

2 Boyutlu Şekillerin Basit Dönüşümleri

İki boyutlu düzlem şekilleri (örneğin düz bir kağıt parçası üzerine çizilmiş), yan uzunluklarının, iç açıların ve alanın fiziksel ölçümlerinin yanı sıra ölçülebilir özelliklere sahiptir. Konum veya boyut veya ‘en-boy oranını’ (ne kadar uzun ve ince veya kısa ve geniş) değiştirebilecekleri dönüşümlerden geçebilirler.

Bu sayfa uyumu, simetriyi, yansımayı, ötelemeyi ve dönüşü araştırır. Bu kavramlar, bir şeklin konumunun çizgi veya nokta gibi bir referansa göre nasıl değiştiğiyle ilgilidir.

Bu fikirlerle günlük yaşamda, ürün tasarımından mimari ve mühendisliğe, doğal dünyadaki oluşumlara kadar her şeyde düzenli olarak karşı karşıyayız. Deseni bir duvar kağıdı rulosunda eşleştirmek bile bu geometrik fikirleri içerir.

Eşlik

Matematik karmaşık terminolojiyle doludur, ancak bazen karmaşık bir terim gerçekten basit bir anlama gelebilir. Bu uyum için doğrudur.

Uyumlu olan iki şekil aynı boyuta ve aynı şekle sahiptir. Bu kadar basit!

Aşağıdaki şemada, A, B, C ve D şekillerinin tümü uyumludur. E, F, G ve H şekilleri uyumlu değildir.

Şimdi izlediğiniz A şeklini alın ve tam olarak E, FG ve H şekillerinin üzerine oturtmaya çalışın. Kağıdınızı kaç kez döndürürseniz veya çevirirseniz çevirin, tam olarak uymayacaktır. Bu nedenle bu şekiller, A, B, C ve D şekilleriyle uyumlu olarak tanımlanamaz.

Uyum Karşılaştırmalı

A şekli kendi başına ‘uyumlu’ olarak tanımlanamaz. Şekil A’ya tek başına bakarsanız düzensiz bir altıgen diyebilir, çevresini ve alanını ölçebilirsiniz. Bununla birlikte, karşılaştırılacak başka bir şekil olana kadar uyumlu olarak tanımlanamaz.

Örneğin G şekli, diyagramımızdaki diğer şekillerin hiçbiriyle uyumlu değildir. Ancak, G şekli ile aynı olan bir grup şekle sahipseniz, G şekli bu şekillerin tümü ile uyumlu olacaktır.

Simetri

Matematikçilerin simetri olarak adlandırdığı bir özelliği varsa, bir şekil simetrik olarak tanımlanabilir.

En basit simetri biçimi çizgi simetrisidir.

Çizgi simetrisi bir yansıma biçimidir (bu sayfada daha sonra ele alınacaktır) ve bazen ayna simetrisi olarak anılır. Bu, simetri çizgisi boyunca bir ayna yerleştirirseniz, o zaman aynadaki şeklin yansımasının, ayna yerinde olmayan şekille aynı olacağı anlamına gelir.

Örneğin A harfi, tepeden tabana tek bir dikey simetri çizgisine sahiptir:

Şekillerin birden fazla simetri çizgisine sahip olması mümkündür. Aslında, normal çokgenler için, simetri çizgilerinin sayısı, şeklin kenarlarının sayısı ile aynıdır. Yani bir altıgen (altı kenar) altı simetri çizgisine ve bir onikagon (12 kenar) 12 çizgi simetriye sahiptir. Bu nedenle bir daire sonsuz sayıda simetri çizgisine sahiptir.

Bir başka yaygın simetri biçimi, dönme simetrisidir. Bir şeyi döndürürseniz, onu döndürürsünüz. Bu, dönme simetrisinde de aynıdır – şekil bir nokta etrafında tam olarak birkaç kez döndürülür.

Dönme simetrisinin sırası, şeklin bir tam dönüşte çoğaltma sayısıdır. Yinelemeler, normal bir çokgenin kenarları gibi her zaman düzenli açıdadır.

Dönme simetrisinin en yaygın bilinen örneği, muhtemelen üç oklu geri dönüşüm sembolüdür.

Bu tanıdık logo, 3. dereceden bir dönme simetrisine sahiptir, yani, logonun merkez noktası etrafında döndürüldüğünde şekil üç kez kopyalanır.

Herhangi bir şekil dönme simetrisine sahip olabilir – aşağıdaki diyagram, eşleşme örneğimizden A şeklini 4 sırayla gösterir:

Yansıma

Yukarıdaki ayna simetrisi ile ilgili bölümde, simetri çizgisi boyunca bir ayna yerleştirilirse, yansıyan görüntünün aynasız görüntüyle aynı göründüğünü öğrendik. Bu belirli bir yansıma türüdür. Bir ayna çizgisi veya yansıma çizgisi, sadece bir simetri çizgisi boyunca değil, bir şekle göre herhangi bir yerde var olabilir. Ayna hattının diğer tarafındaki şeklin görüntüsü onun yansımasıdır.

Aşağıdaki şemada, A orijinal şekildir. Anlaşılması gereken en basit yansıma, A şeklinin en uzun kenarına paralel olan dikey bir ayna çizgisinde yansıtıldığı zamandır. Yansıtılan şekil B’dir.

Bir ayna çizgisi herhangi bir yere ve orijinal şekle herhangi bir açıda yerleştirilebilir. Çapraz ayna çizgisi, A şeklinin en uzun kenarına yaklaşık 45 ° ‘dir ve yansıyan şekil C’dir.

Yansıyan şekilleri çizme

Bir sayfaya bir şeklin yansımasını çizmeniz gerektiğinde, bir ayna kullanarak nasıl görüneceğine dair bir fikir edinebilirsiniz.

Görüntünüzü izleme kağıdına izleyebilir, ardından kağıdı yansıma çizgisi (veya ayna çizgisi) boyunca katlayabilir ve ardından yansımayı izleyebilirsiniz. Ancak doğru bir şekilde çizmeniz gerekiyorsa, biraz grafik kağıdına ve mantıklı bir yaklaşıma ihtiyacınız olacak.

Yukarıdaki şemada, orijinal üçgen ABC olarak etiketlenmiştir. Ayna çizgisi kırmızıyla çizilir ve yansıma çizgisi olarak etiketlenir.
Ayna çizgisine yansıyan ABC üçgeni A’B’C ‘üçgenidir.

Düşünme Kuralları

  • Her nokta ve yansıması, ayna hattından tam olarak aynı uzaklıktadır.

  • Bir noktayı yansımasıyla birleştiren çizgi, ayna çizgisine dik (dik açılarda).

Diyagramda, A’dan A’ya bağlantı noktasını birleştiren çizgi bir yapım çizgisi olarak adlandırılır ve şu kuralları gösterir: A ile ayna çizgisi arasındaki mesafe, A ‘ve ayna çizgisi arasındaki mesafe ile aynıdır; ve yapım çizgisi ayna çizgisine diktir (ortasındaki küçük kare ile gösterilir).

Yansıyan bir şekil çizerken, şu sistematik yaklaşımı kullanmanız gerekir:

  • Bir köşeden başlayın (örneğimizde A noktası) ve bu noktadan ayna çizgisi boyunca bir yardımcı çizgi çizin. Bu çizginin ayna çizgisine dik açıda olduğundan emin olmak için bir açı ölçer veya bir kare kullanın.

  • İnşaat çizgisi boyunca (A) noktasından ayna çizgisine olan mesafeyi doğru bir şekilde ölçün ve ölçümü not edin. Yardımcı çizgi ile ayna çizgisinin kesiştiği noktadan başlayarak (çapraz), şimdi ayna çizgisinin karşı tarafındaki yapım çizgisi boyunca aynı mesafeyi ölçün ve bu noktada bir nokta çizin. Bu senin A ‘noktan.

  • İşlemi B ve C noktaları (veya şekline bağlı olarak daha fazlası) için tekrarlayın, ardından yansıyan şeklinizi oluşturmak için yansıttığınız noktaları çizdiğiniz sırada dikkatlice birleştirin.

Bunların hepsi kulağa çok zor geliyor ama pratikle daha kolay hale geliyor. Uzamsal becerilerinizi geliştirmek eğlenceli bir egzersiz olabilir.

Tercüme

Çeviri, olduğundan çok daha zor görünen bir başka matematik terimleridir. Aslında gerçekten çok kolay!

Tercüme, bir şeklin bir yerden diğerine dönme veya yansıma olmaksızın hareketidir.

Yani, orijinal şeklin her noktası düz bir çizgi boyunca, tam olarak aynı mesafede ve tam olarak aynı yönde (aynı açıda) hareket ederse, bu o şeklin bir çevirisidir.

Yukarıdaki şema çeviriyi gösterir – soldaki şekildeki her nokta sağa dört kare taşınır.

Bununla birlikte, aşağıdaki diyagram bir öteleme olarak tanımlanamaz çünkü şekil hem çevrilir (düz bir çizgide taşınır) hem de döndürülür:

Rotasyon

Yukarıdaki dönme simetrisi bölümünde bir şeklin dönüşü kavramını keşfettik. Dönme simetrisi durumunda, şekil, merkezi etrafında kesin açısal aralıklarla döndürülmüş ve tekrarlanmıştır.

Simetrisi olmayan bir şeklin dönüşü herhangi bir açıyla, saat yönünde veya saat yönünün tersine tek bir nokta civarında olabilir. Bu nokta önemlidir ve buna dönme merkezi denir.

Aşağıdaki diyagram, bir O noktası etrafında döndürülen dik açılı bir A üçgenini göstermektedir. Üçgen B, saat yönünün tersine 90 ° döndürüldüğünde nasıl göründüğüdür. Üçgen C, saat yönünde 180 ° döndürülmüş A üçgenidir.

Rotasyon kuralı:

Şeklin üzerindeki herhangi bir noktanın dönüş merkezine uzaklığı her zaman aynı kalır.

Dolayısıyla, bir pusulayı alıp, noktasını dönme merkezine yerleştirip yukarıdaki diyagramdaki her üçgenin tepesini birleştirirseniz, o zaman mükemmel bir daire çizmiş olursunuz – kırmızı daire ile gösterildiği gibi.

Sonuç

İki boyutlu şekiller gerçek dünyada nadiren tek başına bulunur, ancak tekrarlanır, yansıtılır, çevrilir ve döndürülür. Bunlar matematikçilerin dönüşüm dediği şeydir. Ürün logolarından devasa mühendislik yapılarına ve mimari şaheserlere kadar her şeyde örnekler buluyoruz.

Vektörler gibi daha gelişmiş kavramların kullanışlı hale geldiği matematiksel olarak daha karmaşık birçok dönüşüm türü vardır. Bu sayfa sadece bazı temel kavramlara bir giriş sağlarken, umarım size YANSITABİLECEĞİNİZ çok şey bırakmıştır!

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu