Cebire Giriş

Pek çok insan denklemlerin ve cebirin onların ötesinde olduğunu düşünür – denklemlerle çalışmak zorunda olma düşüncesi onları korku ile doldurur. Ancak denklemlerden korkmanıza gerek yok.

İyi haber şu ki, denklemler aslında nispeten basit kavramlardır ve biraz pratik ve bazı basit kuralların uygulanmasıyla, onları değiştirmeyi ve çözmeyi öğrenebilirsiniz.

Bu sayfa size cebirin temellerini tanıtmak ve umarım basit denklemleri çözerken kendinizi daha rahat hissetmenizi sağlamak için tasarlanmıştır.

Bununla birlikte, çoğu insan denklemlerden bahsettiğinde, cebirsel denklemleri kastediyorlar.

Bunlar sayıların yanı sıra harfleri de içeren denklemlerdir. Harfler, sayısal bir ifadenin çok karmaşık olacağı veya belirli sayılar kullanmak yerine genellemek istediğiniz bazı sayıların yerini almak için kullanılır. Denklemin bir kısmındaki değerleri bildiğinizde de kullanılabilirler, ancak diğerleri bilinmemektedir ve bunları çözmeniz gerekir.

Cebirsel denklemler, harflerin hangi sayıları temsil ettiğinin belirlenmesiyle çözülür.

Yukarıdaki iki basit denklemi, sayılardan birinin yerine (x) koyarak cebirsel denklemlere dönüştürebiliriz:

2+2= ( kalın sembol {x})

2+2=4 olduğunu biliyoruz, yani (x) 4’e eşit olmalıdır. Denklemin çözümü bu nedenle ( boldsymbol {x})=4’tür.

5+3> 3+ ( kalın sembol {x})

5+3=8 olduğunu biliyoruz. Denklem bize 8’in (>) 3+ (x) ‘den büyük olduğunu söylüyor.

Denklemi, (x) bir tarafta ve tüm sayılar diğer tarafta olacak şekilde yeniden düzenlemeliyiz, aksi takdirde (x) değerini bulamayız. Denklemleri yeniden düzenleme kuralı, bir tarafa yaptığınız şeydir, diğer tarafa da yapmanız gerekir. Aşağıda daha fazlası var.

Her iki taraftan 3’ü uzaklaştırın (8-3=5), sonra denklem olur

5> ( kalın sembol {x})

(X) değerinin 5 ( (x) <5) ten küçük olması gerektiğini görebiliriz.

Bize verilen bilgilerle (x) ‘in ne olduğunu daha kesin olarak söyleyemeyiz. Bununla birlikte, örneğimiz olarak kullandığımız ilk denklemde, aslında 5’ten küçük olan (x) yerine 4’ü koyduk.

Kıvırcık bir ‘x’ ( ({x})) kullanmanın sihri yoktur. ({X}) ve ({y}) genellikle denklemlerin bilinmeyen öğelerini temsil etmek için kullanılsa da, istediğiniz herhangi bir harfi kullanabilirsiniz.

Değişkenler ve sabitler

Cebirde bir sayının yerini almak için kullanılan bir harfe değişken denir, çünkü onu her kullandığınızda farklı sayıları temsil eder.

Bu, her zaman aynı sayının yerini almak için kullanılan belirli bir harften farklıdır, örneğin ( pi) (pi) her zaman 3.142’dir. Böyle bir mektuba sabit denir.

Cebirsel bir denklemde, verilen herhangi bir sayı aynı zamanda sabittir, çünkü her zaman aynı kalırlar.

Sabit içeren bir denklemi çözmeniz gerekiyorsa, her zaman değeri size söylenecektir.

Denklemin Şartları

Bir terim, denklemin diğer kısımlardan, genellikle bir toplama (+) veya çıkarma (-) sembolü ile ayrılan bir parçasıdır.

Bir grup terim, matematiksel bir cümle veya açıklama gibi bir ifade olarak adlandırılır. Bazı matematiksel ifadeler oldukça korkutucu görünebilir, sayılar ve harflerle dolu, hatta bazıları Yunanca bile olabilir. Bununla birlikte, anahtar her terime ayrı ayrı bakmak ve bunu bildiğiniz veya çalışabileceğiniz şeylere ayırmaktır. Bunu yaparsanız, her zaman ilk düşündüğünüz kadar zor olmadığını anlamaya başlayacaksınız.

Terimler yalnızca sayı olabilir veya yalnızca harf olabilir veya 2 ( boldsymbol {x}), 3 ( boldsymbol {xy}) veya 4 gibi harf ve rakamların bir kombinasyonu olabilir. ( kalın sembol {x}) 2.

Harfleri ve sayıları içeren bir terimde, sayı katsayı olarak bilinir ve harf değişkendir. Katsayı basitçe bir “çarpan” dır – size o terimde kaç tane bir şeye (değişken) sahip olduğunuzu söyler.

Tam olarak aynı değişkene sahip terimlerin terimler gibi olduğu söylenir ve bunları basit sayılarmış gibi toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir veya bölebilirsiniz. Örneğin:

2 (x)+3 (x) denklemi 5 (x) ‘e eşittir, sadece 2 lot (x) artı 3 lot (x) denklemi 5 lot ( x) (5 (x)).

$$ 5xy – xy=4xy $$ $$ 5y×3y=15y ^ 2 $$

‘Terimlerin aksine’ ekleyemez veya çıkaramazsınız. Ancak, değişkenleri birleştirip katsayıları çarparak bunları çarpabilirsiniz.

Yani, örneğin, 3 (y)×2 (x)=6 (xy) (çünkü 6 (xy), 6 kere (x) çarpı (y) anlamına gelir).

Farklı terimleri kesirlere dönüştürüp iptal ederek bölebilirsiniz. Rakamlarla başlayın, sonra harflerle.

Yani mesela:

( büyük {6xy÷3x})

Denklemleri Yeniden Düzenleme ve Çözme

Çoğu durumda bir denklemi çözmek için muhtemelen onu yeniden düzenlemeniz gerekecektir. Bu, eşitlik sembolünün bir tarafında (=,> veya

Bu işleme bazen izolasyon (x) denir.

Denklemleri bir dizi basit kuralla yeniden düzenleyebilirsiniz:

Çalışılan Örnekler:

(X) için bu denklemleri çözmeye çalışın, çalışmaları ve cevapları ortaya çıkarmak için kutuları tıklayın.

$$ büyük {x+3=5×4} $$

• Herhangi bir hesaplamada olduğu gibi, önce çarpma işlemini yapın. 5×4=20
• Yani (x)+3=20
• Bir sonraki adım, her iki taraftan üç tane uzaklaştırmaktır.
• (x)+3 – 3=20 – 3
• 20 – 3=17.

Bu size cevabı bırakıyor: (x)=17

$$ large {5+x+21=3+6×5} $$

• Hesaplamayı önce sağ tarafta yapın, çünkü hiçbir harf içermiyor. Parantez yok, bu yüzden önce çarpma, sonra toplama.
• 6×5=30 ve 30+3=33.
• Soldaki hesaplama ek bir hesaptır, böylece tüm sayıları bir araya getirene kadar terimleri hareket ettirebilirsiniz:
  5+ (x)+21= (x)+5+21
  ve 5+21=26.
• Şimdi 26+ (x)=33 var
• Şimdi her iki taraftan da 26 uzaklaştırabilirsiniz
• 26+ (x) – 26= (x)=33 – 26
• Ve 33-26=7.

Bu nedenle (x)=7

$$ büyük {x ^ 2+5=13 – 4} $$

• Her iki taraftan beş tane alarak bir taraftaki tüm sayıları elde etmek için yeniden düzenleyin.
• Şimdi sahipsin
  (x) 2=13 – 4 – 5, yani
• (x) 2=4
• Şimdi her iki tarafın da karekökünü almanız gerekiyor, çünkü (x) 2 değil (x) değerini bulmak istiyorsunuz.
• 2×2=4 olduğunu biliyorsunuz, bunun anlamı 4=2’nin karekökü

(x)=2

Denklemler ve Grafikler

Yalnızca iki değişken, (x) ve (y) arasında bir ilişki olan herhangi bir denklem, (x) ‘in yatay eksen boyunca gittiği bir çizgi grafiği olarak çizilebilir (bazen x ekseni olarak adlandırılır)) ve (y), (bazen y ekseni de denir).

Belirli (x) değerleri için denklemi çözerek grafiğinizdeki noktaları hesaplayabilirsiniz.

Örnekler:

( büyük {y=2x+3})

Bir denklemin grafiğini çizmenin avantajı, herhangi bir (x) değeri için (y) değerini hesaplamak için kullanabilmenizdir ya da herhangi bir verilen değer için (x) (y), grafiğe bakarak.

Bu örnekte (y)=10 olduğunda (x) değeri nedir?

10’a ulaşana kadar y eksenini yukarı, ardından grafikteki çizgiye ulaşana kadar yatay olarak hareket ettirin. Bu noktada, x eksenine ulaşana kadar aşağı doğru hareket edin. Bu, grafikteki kırmızı çizgilerle gösterilir ve bunu (y)=10, (x)=3.5 olduğunda görebilirsiniz.

( büyük {y=x ^ 2+x+4})

(X)=0 olduğunda, (y)=0+0+4=4
(x)=1, (y)=1+1+4=6 olduğunda
(x)=2, (y)=4+2+4=10 olduğunda
ve bunun gibi…

Ekstrapolate

Denkleminizi bir grafik üzerinde çizmenin diğer bir avantajı, daha büyük (x) veya (y) değerleri elde etmek için verilerinizi (sayısal bilgiler) tahmin edebilmenizdir. Dış değerleme, (x) ve (y) değerlerini önceden sahip olduğunuz veri aralığının ötesinde tahmin etmek için verilerinizden çizdiğiniz çizgiye devam ederek grafiğinizi genişletmeniz anlamına gelir.

İlk örnekte, denklem düz bir çizgi üretir, bu nedenle bu grafiğin ekstrapolasyonunu yapmak basittir. Bununla birlikte, ikinci örnekte olduğu gibi, düz çizgi olmayan bir grafiğin ekstrapolasyonunu yaparken dikkatli olunması gerekir.

Sonuç olarak

Bu sayfa basit denklemlerin nasıl çözüleceğini ve denklemler ile grafikler arasındaki ilişkiyi açıklayarak size denklemleri çözmek için alternatif bir yol sunar.

Artık eşzamanlı denklemler ve ikinci dereceden denklemler dahil daha karmaşık denklemlere geçmeye hazırsınız.