Sayısal yetenekler

Eğri Şekiller

Daireler, Elipsler, Paraboller ve Hiperboller

Çokgenler sayfamız, ‘düzlem şekilleri’ olarak da bilinen düz çizgilerle yapılan şekilleri kapsar. Bu sayfa, özellikle iki boyutlu olanlar olmak üzere eğrili şekiller hakkında daha fazla bilgi verir.

İki boyutlu kavisli şekiller arasında daireler, elipsler, paraboller ve hiperbollerin yanı sıra yaylar, sektörler ve segmentler bulunur. Küreler, silindirler ve koniler dahil olmak üzere üç boyutlu kavisli şekiller, Üç Boyutlu Şekiller sayfamızda ele alınmıştır.

İki Boyutlu Eğimli Şekiller

Çevreler

Muhtemelen en yaygın iki boyutlu kavisli şekil bir dairedir.

Geometride dairelerle (ve diğer eğimli şekillerle) çalışmak için, bir dairenin temel özelliklerini anlamak önemlidir:

  • Bir dairenin merkezi boyunca düz bir çizgi, çaptır.

  • Çapın yarısı yarıçaptır.

  • Bir dairenin kenarı etrafındaki çizgi çevrededir.

Bir çemberin çevresindeki herhangi bir nokta, çemberin merkezinden çevredeki diğer herhangi bir nokta ile tam olarak aynı uzaklıktadır.

Π (pi) tanıtımı

π veya pi, Yunanca bir harftir. Matematikte, irrasyonel veya sonsuz bir sayı olan belirli bir sabiti temsil etmek için kullanılır (daha fazlası için Özel Sayılar sayfamıza bakın).

π değeri 3,142’dir (sonsuz olmasına rağmen, bu tam değerinin bir tahminidir).

π önemlidir, çünkü bir dairenin çevresini ve alanını hesaplamak için kullanılır.

Bir çemberin çevresi π x çapa veya 2×π×yarıçapa (2πr olarak kısaltılır) eşittir.

Bir dairenin alanı π×yarıçap2’ye eşittir. Bu formül genellikle πr2 olarak kısaltılır

Alan hakkında daha fazla bilgi için Alan Hesaplama sayfamıza bakın.

Sektörler ve Segmentler

Sektörler ve segmentler, bir dairenin ‘dilimleridir’.

Bölümler, kavisli kenarlı ve her düz kenarı, kesildiği dairenin yarıçapı veya pizza ile aynı uzunlukta olan bir pizza dilimi şeklindedir. Pasta grafikler, gösterdikleri verilerle boyut olarak ilişkili bir dizi sektörden oluşur.

Bir sektör herhangi bir boyutta olabilir, ancak yarım daire (180 °) olan bir sektör yarım daire olarak adlandırılırken, çeyrek daire sektörü (90 °) çeyrek daire olarak adlandırılır.

Doğru, bir sektörün eğimli kısmıdır, üçgeni bir sektörden kaldırırsanız kalan kısımdır. Segmentler iki satırdan oluşur. Yay (dairenin çevresinin bir bölümü # aşağıya bakınız) ve bir akor # yayın iki ucunu birleştiren düz çizgi.

Bir sektör, bir dairenin bir bölümüdür ve bu nedenle alanı, tüm dairenin alanının bir bölümüdür. Bir sektörün alanını hesaplamak için, merkez açısını, θ ve yarıçapını bilmeniz gerekir.

Bir sektörün alanı daha sonra aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

πr2×(θ÷360)

Yaylar

Bir dairenin çevresinin bir bölümüne yay adı verilir.

A ve B noktaları arasındaki bir yayın uzunluğunu hesaplamak için, A ve B noktaları arasındaki merkezdeki açıyı bilmeniz gerekir. Θ (teta), A ve B’nin kapsamına giren bu açıyı temsil etmek için kullanılan semboldür. Örneğimizde, θ için derece kullanıyoruz, ancak radyan kullanmak da mümkündür.

Ayrıca yayın yarıçapını (r) da bilmeniz gerekir.

Tüm çemberde 360 ​​° olduğu için, yayın uzunluğu merkez açının (θ) 360’a bölünmesine eşittir, ardından tüm çemberin çevresi (2πr) ile çarpılır.

2πr θ (θ÷360)

Misal:

r=10cm, θ=88 °, π=3.14

Yay Uzunluğu=2×3.14 x 10x(88÷360)=62.8×0.24=15.07cm.

Elipsler

Elips, iki odak noktasını çevreleyen bir düzlem (veya düz yüzey) üzerindeki bir eğridir. Bir odak noktasından eğri üzerindeki herhangi bir noktaya ve ardından diğer odak noktasına çizilen düz bir çizgi, eğri üzerindeki her nokta için aynı uzunluğa sahiptir.

Elipsler astronomi ve fizikte çok önemlidir, çünkü her gezegenin odak noktalarından biri güneş olan eliptik bir yörüngesi vardır.

Daire, iki odak noktasının aynı yerde (çemberin merkezinde) olduğu belirli bir elips biçimidir. Elipsler ayrıca ‘oval’ olarak da tanımlanabilir, ancak ‘oval’ kelimesi matematikte çok daha az kesindir ve basitçe ‘geniş olarak yumurta şeklinde’ anlamına gelir.

Elipsin özellikleri:

Elipsin iki ana ekseni vardır ve bunların etrafında simetriktir.

Daha uzun eksene ana eksen denir; kısa eksen küçük eksendir.

Eksenlerin çevreyi kestiği dört noktaya köşeler (tekil köşe) denir. Küçük eksenin çevreyi kestiği iki nokta eş köşeler olarak adlandırılır.

İki odak noktası (veya bazen lokus veya lokus olarak adlandırılan odak) hem ana eksende, hem de merkezden eşit uzaklıktadır.

Bir odak noktasından çevredeki herhangi bir noktaya ve diğer odak noktasına (diyagramımızdaki mavi noktalı çizgi) olan mesafe, ana eksendeki köşeler arasındaki uzunluk ile aynıdır.

Bir elipsin uzama derecesi, eksantrikliği ile tanımlanır. Eksantrikliği hesaplamanın formülü şöyledir:

Eksantriklik=merkezden odak noktasına uzaklık
ana eksende merkezden tepe noktasına uzaklık

Bir dairenin eksantrikliği sıfırdır, çünkü odak noktaları tam olarak aynı yerdedir (merkez) (aynı zamanda çakıştıklarını da söylüyoruz). Merkezden odak noktasına olan mesafe bu nedenle sıfırdır. Elips uzadıkça eksantriklik artar, ancak her zaman 1’den azdır. Merkezden odak noktasına olan mesafe, merkezden tepe noktasına olan uzaklıkla aynı olduğunda, elips düz bir çizgi ve eksantrikliği haline gelir. 1’e eşittir.

Bir elipsin alanı π (½ x küçük eksen) (½ x ana eksen) olarak hesaplanır.

Paraboller, Hiperboller ve Eğri Şekiller Arasındaki İlişki

Paraboller ve Hiperboller, eğri şekillerin daha fazla formudur, ancak tanımlamaları daireler ve elipslerden daha karmaşıktır. Birbirleriyle ve daireler ve elipslerle yakından ilişkilidirler, çünkü hepsi konik bölümlerdir, yani düz bir düzlemle bir koni içinden dilimlenerek oluşturulan şekillerdir.

Konik bölümlerin özellikleri bin yıldır incelenmiştir ve Öklid ve Arşimet gibi eski Yunan matematikçilerinin ilgi konusu olmuştur. Aşağıdaki diyagram, kum saati gibi bir çift koniyi göstermektedir.

  • Düzlem, koniyi, koninin tabanına paralel bir açıyla (yani dikey eksenine dik olarak) keserse, bir daire oluşur (sol üst).

  • Düzlem, koniyi koninin kenarına paralel olarak keserse, bir parabol oluşur (merkez).

  • Düzlem, koniyi bu ikisi arasında bir açıyla keserse, tüm konumlarda koninin kenarlarıyla teması sürdürürse, bir elips oluşur (sol alt).

  • Düzlem, her iki koniyi daha dikey bir açıyla keserse, o zaman kesit bir hiperbol olur.

Paraboller ve hiperboller, tek bir simetri eksenine ve bir tepe noktasına (eğrinin u-şeklinin en alt noktası) sahip simetrik eğrilerdir.

Ne kadar büyük olursa olsun tüm parabolalar aynı karakteristik şekle sahiptir. Tepe noktasından sonsuzluğa doğru gittikçe uzaklaştıkça, parabol bir çanak şeklinden keskin bir şekle dönüşür ve kolları birbirine yaklaşarak yaklaşır.

Parabollerin aksine, hiperboller farklı şekiller olabilir, çünkü kesim açısı büyük ölçüde değişebilir. Hem paraboller hem de hiperboller sonsuzdur, ancak bir hiperbolün kolları asla paralel olmaz.

Konik kesitlerin gerçek dünya uygulamaları

Konik kesitlerin birçok gerçek dünya uygulaması vardır.

  • Teleskoplar için lenslerde ve bir ışık huzmesi oluşturmak için farlardaki veya spot lambalardaki reflektörlerde kullanılırlar.
  • Bu şekillerle ilişkili karmaşık matematik, uyduların yörüngelerinin hesaplanmasında hayati önem taşır.
  • Mühendislikte, Golden Gate Köprüsü üzerindeki kablolar mükemmel paraboller şeklindedir ve uçaktaki aerofoller elipslere dayanmaktadır.
  • Sporda, bir futbol, ​​beyzbol veya kriket topunun izlediği kavis de bir paraboldür, bu nedenle konik bölümleri anlamak, oyuncu performansını analiz etmek için hayati önem taşır # profesyonel sporlara yatırılan parayla gittikçe daha fazla önem kazanır.
  • Bu şekillerin organik formu aynı zamanda onları sanat ve mimaride kullanımlarına da borçludur. Örnekler arasında Mumbai’deki Cybertecture Egg, Missouri’deki Gateway Arch ve Richard Serra’nın Guggenheim müzesindeki Torqued Ellipses gibi çok sayıda heykel sanatçısının çalışmaları sayılabilir.

İhtiyacınız Olan Beceriler?

Daireler temel geometrinin parçasıdır ve onların temel özelliklerini nasıl hesaplayacağınızı gerçekten bilmeniz gerekir.

Bununla birlikte, mühendisliğe, fiziğe veya astronomiye ciddi bir şekilde girmek istemediğiniz sürece, diğer şekillerin varlığının farkında olmaktan daha fazlasını yapmanız pek olası değildir.

Bununla birlikte, bir elektrik santrali soğutma kulesinin içbükey eğrilerinin veya aşağı doğru bakan bir halojen lambadan gelen ışığın bir hiperbol şeklinde olduğunu bilmekten memnun olduğunuzu fark edebilirsiniz.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu