Sayısal yetenekler

Kartezyen Koordinat Sistemlerine Giriş

Verileri bir çizgi grafik üzerinde sunarken, sahil boyunca tekneyle bir rota çizerken veya bir Milli Park haritasında bir otoparkın konumunu bulurken, nokta koordinatlarını anlamanız gerekir.

Bir nokta, herhangi bir yerde tek bir konumdur. Düz bir çizgi üzerinde (tek boyut), iki boyutlu bir yüzeyde veya düzlemde (örneğin kağıt üzerinde bir nokta) veya üç boyutlu uzayda (belirli bir uçakta uçuş halindeki bir uçağın konumu gibi) olabilir. anında).

Noktanın kendisi boyutsuzdur (yani boyutları veya ölçülebilir boyutu yoktur). Konumu önemli olan şeydir. Aklınıza gelebilecek her noktanın, uzaydaki her atomun, yalnızca kendi işgal ettiği kendine özgü bir yeri vardır. Bu yer zamanla değişebilir (uçak A’dan B’ye uçar). Fakat herhangi bir anda benzersiz bir konuma sahiptir. Her noktanın koordinatları adı verilen ve konumunu bilinen başka bir konuma göre tanımlayan bir adresi vardır.

İki boyutlu bir düzlemde, bir nokta (x, y) gibi bir koordinat sistemi içinde bir çift koordinatla tanımlanabilir. Üç boyutlu bir uzayda, bir nokta üç koordinatla tanımlanabilir, örneğin (x, y, z). Karşılaşabileceğiniz en yaygın koordinat sistemleri Kartezyen koordinat sistemleridir. Bunlar, düzlemin, yüzeyin veya uzayın düz, dikdörtgen boyutlarda (bir kutu veya kare ızgara gibi) tanımlanabildiği durumlarda kullanılır.

Bununla birlikte, ilgili eğri çizgiler, yüzeyler ve boşlukların olduğu yerlerde, dairesel şekillerden türetilmiş bir sistem kullanmak gerekir. Bununla ilgili daha fazla bilgi için kutupsal, küresel veya silindirik koordinat sistemleri sayfamıza bakın.

İki Boyutlu Kartezyen Koordinatlar

İki boyutlu bir düzlemdeki Kartezyen koordinat sistemi, iki dikey eksenle tanımlanır.

Başka bir deyişle, düz bir yüzey üzerinde birbirine dik açılarla çizilen iki çizgi (örneğin düz bir kağıt sayfası, ince bir cam levha veya bir futbol sahası yüzeyi) o yüzeydeki her nokta için bir referans ızgarası sağlar. Dikdörtgen veya ortogonal koordinat sistemi olarak adlandırılan bu tür bir sistemi de görebilirsiniz. Çünkü referans eksenleri dikeydir.

Tipik bir Kartezyen koordinat sistemi, x ve y eksenleri ile tanımlanır. Her eksenin bir uzunluk veya mesafe birimi vardır (metre veya km gibi). Koordinat sistemi içindeki herhangi bir nokta, hem x hem de y eksenlerine (x, y) göre bir mesafeyle tanımlanır. Eksenler hem x hem de y değerlerinin sıfır olduğu noktada kesişir; buna başlangıç ​​noktası (0,0) denir.

Aşağıda, eksenleri geleneksel olarak x (yatay) ve y (dikey) olarak etiketlenmiş iki boyutlu bir Kartezyen sistemi içindeki beş farklı noktanın koordinatlarını gösteren bir örnek bulunmaktadır. Beş noktanın her biri, birincisi y eksenine dik olan mesafesi (x değeri) ve ikincisi x eksenine dik olan uzaklığı (y değeri) olan iki sayı ile tanımlanır. X ve y değerlerinin pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu belirleyeceği için, başlangıçtan itibaren yönün de önemli olduğuna dikkat edin.

Yukarıdakine benzer bir diyagramla karşılaştığınızda, örneğin bir harita veya belki bir veri koleksiyonu, muhtemelen iki şeyden birini yapmanız gerekecektir:

İlgili Makaleler
  • Ya haritada bir noktanız var ve onun koordinatlarını belirlemeniz gerekiyor;
  • Ya da koordinatlara sahipsiniz ve noktanın yerini bulmanız gerekiyor.

Bir noktanın koordinatlarını belirleme

Bir noktanın koordinatlarını belirlemek için, diyagramdaki A Noktasını düşünün (pozitif x ve y çeyreğinde veya Çeyrek 1’de kırmızıyla işaretlenmiş). İlk olarak, başlangıç ​​noktasından x ekseni boyunca ne kadar uzakta olduğunu, yani y ekseninden dikey mesafesini ölçün. Bu durum 2 değerine sahip x koordinatınızı sağlar. Ardından, noktanın y ekseni boyunca x ekseninden dik yönde ne kadar uzakta olduğunu ölçün. Bu durum değeri 3 olan y koordinatınızı verir.

A Noktasının koordinatları bu nedenle (2,3) ‘tür.

Koordinatlarından bir noktanın konumunu bulma

İkinci durumda, koordinatlar (−5.5, −1.5) verilebilir ve bu noktanın grafik veya haritada konumunu bulmanız gerekebilir. Bu durumda, −5,5 değerine ulaşana kadar önce negatif x ekseni boyunca hareket edersiniz. Daha sonra bu konumdan, 1,5 birim dikey yönde, yani negatif y eksenine 1,5 birim paralel hareket edin ve noktanızı işaretleyin. Alternatif olarak, x=−5,5’te dikey bir çizgi ve y=−1,5’te yatay bir çizgi çizebilirsiniz.

İki çizginin kesiştiği nokta (−5.5, −1.5), Çeyrek 3’te B Noktası olarak diyagramda gösterilen noktadır.

! Dikkat – Uyarı ! Sıra önemlidir!

Koordinatları okurken veya yazarken, bunların her zaman x, y sırasında olmaları çok önemlidir. Diyagramdaki Çeyrek 1’e baktığınızda, A Noktasının (2,3) (3,2) noktasına kadar tamamen farklı bir konumda olduğunu görebilirsiniz!

Koordinat Eksenleri: Önemli Bir Sözleşme

Kartezyen koordinat sistemleri genellikle x ve y olarak etiketlenmiş eksenlere sahiptir. Fakat bu her zaman böyle değildir. Bununla birlikte, (x, y) noktası (y, x) noktası ile aynı olmadığından, birini diğerinden açıkça ayırmak önemlidir.

Yaygın kullanımda, yatay (x) eksen apsis olarak adlandırılır ve dikey (y) eksen ordinat olarak adlandırılır. Apsis ve ordinat, eksenlerin x ve y veya başka bir şey olarak etiketlenmiş olup olmadığına bakılmaksızın, koordinat sistemindeki herhangi bir noktanın birinci ve ikinci koordinatıdır.

Eksenlerden hangisinin Apsis veya Ordinat olduğunu hatırlamak zor geliyorsa, alfabede x’in y’den önce geldiğini ve A’nın O’dan önce geldiğini hatırlayın. Ayrıca koridor boyunca ve sonra merdivenlerden yukarı çıkmayı da hayal edebilirsiniz!

Üç Boyutlu Kartezyen Koordinatlar

Üç boyutlu bir Kartezyen koordinat sisteminde, noktanın uzaydaki konumunun üç koordinatla, tipik olarak (x, y, z) tanımlanması gerekir. İki boyutlu bir sistemde, nokta düz bir düzlemde bir yerdedir. Bununla birlikte, bir düzlemin yalnızca bir uzunluğu ve genişliği vardır, oysa üç boyutlu bir uzay da bir yüksekliğe veya derinliğe sahip olmalıdır. Bu durumda, noktanın dikdörtgen bir kutu içinde bir yerde olduğunu hayal edebilirsiniz.

İlk iki koordinat, x ve y, iki boyutlu bir sistemde olduğu gibi belirlenir. Bunlar, xy düzlemine dik açılarla aşağıya (veya yukarı doğru) yansıtılmışsa noktanın konumunu tanımlar. Bunu görselleştirmeyi kolaylaştırmak için, elinizde bir topu tuttuğunuzu ve kolunuzu omuz hizasında uzattığınızı hayal edin. Top senin amacın. Topu düşürürseniz, hemen elinizin pozisyonunun altında yere sıçrar. Zemin xy düzlemiyse, topun zıpladığı nokta, noktanın (x, y) koordinatıdır.

Üç boyutlu sistem ayrıca xy düzlemine dik olan bir z eksenine sahiptir. Topu tuttuğunuz yerden yukarıda olan konum z koordinatıdır. Üç boyutlu bir Kartezyen sistemin başlangıcı, x, y ve z’nin sıfıra (0,0,0) eşit olduğu noktadır.

Matematiksel terimlerle, tipik bir üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemindeki bir P noktası aşağıdaki diyagramda gösterilmektedir. P, örneğimizdeki topa eşdeğerdir.

Mühendislik, fizik, mimari veya bilgisayar destekli tasarımın diğer uygulamaları ile uğraşmadığınız sürece günlük yaşamda 3B Kartezyen koordinat sistemlerini kullanmanız gerekmeyecektir. Ancak, nasıl çalıştıklarını anlamakta fayda var. Evde kullanılan birçok 3B tasarım ve çizim paketi bu ilkeler üzerinde çalışır. Bu nedenle temel bir uzamsal geometri bilgisi, bunları başarılı bir şekilde kullanmak için genellikle değerlidir.

Kartezyen Koordinatların Uygulamaları

Cebirsel denklemlerin grafiklerini oluştururken Kartezyen koordinatların kullanılması

Matematikte, özelliklerini tam olarak anlamak ve yorumlamak için bir cebirsel denklemden bir grafik çizmenin gerekli olduğu zamanlar olacaktır. Kartezyen koordinatlar üzerinde (y)=ƒ ((x)), ((y) ‘nin bir fonksiyonu olarak (x)) biçiminde bir denklem çizilebilir. Her (x) değeri için, denklemden (y) değerini belirleyebilir ve böylece grafikteki her nokta ((x), (y)) çizilebilir.

Aşağıdaki diyagram, ikinci dereceden denklemin karakteristik eğrisini göstermektedir

Daha fazla bilgi için Grafikler ve Çizelgeler ve İkinci Dereceden Denklemler hakkındaki sayfalarımıza bakın.

Harita okuma becerilerine kartezyen koordinatları uygulama

Bir arkadaşın şöyle dediğini hayal edin

“B4437 üzerindeki otoparkta buluşup öğle yemeği için piknik alanına yürüyeceğiz. Bara daha sonra gidebiliriz. Yol kenarındaki o-kiliseye ulaşırsanız çok ileri gitmiş olursunuz! “

Yukarıdaki resim, bölgenin basit bir haritasını göstermektedir.

Bu günlerde, uydu navigasyonu ve Google Haritalar gibi mobil uygulamalar sayesinde neredeyse her yere gidebilirsiniz. Ancak yine de harita okuma becerisine sahip olmak çok faydalıdır. Kendinizi mobil sinyalin olmadığı veya pilinizin bittiği bir durumda bulabilirsiniz.

Her harita türünün, haritada kullanılan tüm sembollerin ve ne anlama geldiklerinin bir listesi olan bir anahtarı ve o bölgeye özgü numaralandırılmış bir ızgara bulunur. Birleşik Krallık’taki Ordnance Survey, dünyanın en tanınmış harita üreticilerinden biridir. İşletim sistemi tarafından haritalanan herhangi bir konumun koordinatları olan benzersiz bir ızgara referansı vardır. Norfolk’ta bir yel değirmeni veya bir İskoç dağındaki bir nirengi noktası olup olmadığına bakılmaksızın, ızgara referansına sahipseniz onu bir harita üzerinde bulabilirsiniz.

Bir haritadaki koordinatlar, dört veya altı rakamlı kılavuz referanslardır. Kartezyen x ekseni, doğularla ve y ekseni de kuzey yönleriyle değiştirilir. Bir noktanın koordinatları, Kartezyen sistemde olduğu gibi, koridor boyunca ve merdivenlerin yukarısında bulunur!

Dört rakamlı bir ızgara referansı, konumu içeren haritadaki kareyi verir. Koordinatlar, karenin sol alt köşesindeki noktadır. Örneğin, otoparkınız 1947’de ve pub 2145’te bulunabilir.

Peki ya konumun çok daha doğru bir tanımına ihtiyacımız olursa? Örnekte, otoparktan ve yoldan biraz uzakta olduğundan piknik alanının tam yerini bilmeniz gerekir. Bu durumda altı rakamlı bir kılavuz referansına ihtiyacınız var.

Altı rakamlı bir ızgara referansı, ızgaranın her bir karesinin, bir parça grafik kağıdındaki birimler gibi on alt bölüme bölündüğü hayal edilerek elde edilir. Piknik alanı için dört rakamlı ızgara referansı 2048’dir. Fakat onda biri sayısını 20 ve 48’e ekleyerek, konumun daha doğru bir tanımını bulabiliriz.

Önce doğuya baktığınızda, piknik yerinin 20 ile 21 arasında yaklaşık 20,4 veya 20’den onda dördü olarak tahmin edebileceğinizden biraz daha az olduğunu görebilirsiniz. Izgara referansınızın ilk üç hanesi bu nedenle 203. Kuzeye baktığınızda, konumun yolun yaklaşık üçte biri 48 ile 49 arasında olduğunu görebilirsiniz, bu nedenle ikinci üç rakam 483’tür. Piknik alanı bu nedenle 203483’tür.

Kilise için ızgara referansını bulmaya gidin.

Cevap 218447.

Sonuç

Bir yüzeydeki veya 3B uzaydaki bir noktanın en önemli özelliği tam konumudur. Bu durum Kartezyen sistemi gibi bir koordinat sistemi kullanılarak ölçülebilir.

Koordinat sistemlerinin nasıl çalıştığını anlamak, grafik çizerken matematiksel olarak size yardımcı olacaktır ve ayrıca yanınızda bir haritanız varsa kaybolmanızı önleyebilir.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu