Sayısal yetenekler

Kutupsal, Silindirik ve Küresel Koordinatlar

Kartezyen Koordinatlar sayfamız, referans eksenlerinin birbirine dik (dik açılarda) olduğu en basit koordinat sistemini tanıtmaktadır. Grafik çizmek veya harita okumak gibi günlük uygulamaların çoğunda, Kartezyen koordinat sistemlerinin ilkelerini kullanırsınız. Bu durumlarda, her veri noktasının veya harita referansının tam, benzersiz konumu, bir çift (x, y) koordinat (veya üç boyutlu (x, y, z)) ile tanımlanır. Koordinatlar, noktanın ‘adresi’, başlangıç ​​olarak adlandırılan bilinen bir konuma göre konumudur, düz bir yüzeydeki iki veya üç boyutlu bir ızgara veya dikdörtgen 3B alan.

Bununla birlikte, bazı uygulamalar eğimli çizgiler, yüzeyler ve boşluklar içerir. Burada, Kartezyen koordinatların kullanılması zordur ve kutupsal, küresel veya silindirik koordinat sistemleri gibi dairesel şekillerden türetilmiş bir sistemi kullanmak gerekli hale gelir.

Kutupsal, Küresel ve Silindirik Koordinatlar Neden Önemlidir?

Günlük durumlarda, kutupsal, küresel veya silindirik olmaktan çok Kartezyen koordinat sistemleriyle karşılaşmanız daha olasıdır. Bununla birlikte, iki boyutlu kutupsal koordinatlar ve bunların üç boyutlu akrabaları, mühendislik ve havacılıktan bilgisayar animasyonundan mimariye kadar geniş bir uygulama yelpazesinde kullanılmaktadır.

Fiziksel bir nesne şeklinde dairesel, küresel veya silindirik simetrinin veya bir tür dairesel veya yörüngesel (salınımlı) hareketin olduğu herhangi bir bağlamda kutupsal koordinatları kullanmanız gerekebilir.

Bu ne anlama geliyor?

Fiziksel olarak eğimli formlar veya yapılar arasında diskler, silindirler, küreler veya kubbeler bulunur. Bunlar, sıvılaştırılmış gazlar içeren basınçlı kaplardan antik ve modern mimari şaheserlerdeki kubbe yapılarının birçok örneğine kadar her şey olabilir.

Fizikçiler ve mühendisler, hareketli bir nesnenin (dinamik) eğimli bir yörüngesi ile çalışırken ve bu hareket ileri geri (salınım) veya yuvarlak ve yuvarlak (dönüş) tekrarlandığında kutupsal koordinatları kullanır. Örnekler arasında gezegenlerin ve uydularınki gibi yörünge hareketi, sallanan bir sarkaç veya mekanik titreşim yer alır. Elektrik bağlamında, alternatif akım kullanan uygulamaların tasarımında kutupsal koordinatlar kullanılır; ses teknisyenleri bunları mikrofonların “toplama alanını” tanımlamak için kullanır; sıcaklık ve manyetik alanların analizinde kullanılırlar.

Keşif Üzerine Bir Vurgu

Günlük bağlamda en bilinen kullanım belki de navigasyondur. Tarih boyunca kaşifler, kutupsal koordinatların anlaşılmasına güvenmişlerdir.

Gemiler ve uçaklar, manyetik Kuzey olan bilinen bir yöne göre seyahat yönünü (rota olarak bilinir) gösteren pusulalar kullanarak seyrederler. Yön, kuzeyden (0 °), pusula etrafında saat yönünde bir açı olarak ölçülür, bu nedenle Doğu 90 °, Güney 180 ° ve Batı 270 ° ‘dir.

GPS uyduları günümüz dünyasında bir geminin konumunu büyük bir doğrulukla belirleyebilir, ancak şimdi bile denizcilerin ve havacıların klasik navigasyon ilkelerini anlamaları gerekir.

Kutupsal, Küresel ve Silindirik Koordinatlar Nasıl Tanımlanır?

Bu durumlarda ve daha pek çok durumda, radyal yönde yönlendirilmiş bir çizgi boyunca (orijini daire, küre veya yayın merkezinde olan) bir dönme açısı ile birleştirilen bir mesafe ölçümünü kullanmak, olduğundan daha uygundur. ortogonal (Kartezyen) koordinat sistemi kullanmak için.

Trigonometri daha sonra iki tür koordinat sistemi arasında dönüştürme yapmak için kullanılabilir. Bunun ve arkasındaki teori hakkında daha fazla bilgi için eğri şekiller, üç boyutlu şekiller ve trigonometri hakkındaki sayfalarımıza bir göz atın.

Kutupsal Koordinatlar

Kutupsal koordinatların kullanılmasının gerekli olduğu matematiksel uygulamalarda, düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, başlangıç ​​noktasından (r) radyal uzaklığı (eğriliğin merkezi veya bilinen bir konum) ve bir teta açısı ( theta) (radyan cinsinden ölçülür).

( Theta) açısı her zaman (x) – ekseninden başlangıçtan noktaya radyal çizgiye kadar ölçülür (diyagrama bakınız).

Kartezyen koordinatlarda bir noktanın bir çift koordinatla ( (x, y)) tanımlanması gibi, radyal koordinatlarda ( (r, theta)) çifti ile tanımlanır. Pisagor ve trigonometri kullanarak, Kartezyen ve kutupsal koordinatlar arasında dönüşüm yapabiliriz:

$$ r ^ 2=x ^ 2+y ^ 2 quad text {ve} quad tan theta= frac {y} {x} $$

Ve tekrar geri dönelim:

$$ x=r cos theta quad text {ve} quad y=r sin theta $$

Küresel ve Silindirik Koordinat Sistemleri

Bu sistemler, iki boyutlu kutupsal koordinat sisteminin üç boyutlu akrabalarıdır.

Silindirik koordinatlar küresel koordinatlardan daha anlaşılırdır ve üç boyutlu Kartezyen sisteme (x, y, z) benzer. Bu durumda, ortogonal xy düzlemi kutupsal düzlemle değiştirilir ve dikey z ekseni aynı kalır (diyagrama bakınız).

Silindirik ve Kartezyen sistemler arasındaki dönüşüm, her ikisi için de aynı olan z koordinatının eklenmesiyle kutupsal sistemle aynıdır:

$$ r ^ 2=x ^ 2+y ^ 2, quad tan theta= frac {y} {x} quad text {ve} quad z=z $$

$$ x=r cos theta, quad y=r sin theta quad text {ve} quad z=z $$

Silindirik Sistemdeki Yüzeyler:

  • (Z) öğesini sabit yaparsanız, düz dairesel bir düzleminiz olur.
  • ( Theta) öğesini sabit yaparsanız, dikey bir düzleminiz olur.
  • (R) öğesini sabit yaparsanız, silindirik bir yüzeye sahip olursunuz.

Küresel koordinat sistemi daha karmaşıktır. Günlük durumlarda onunla karşılaşmanız pek olası değildir. Öncelikle karmaşık bilim ve mühendislik uygulamalarında kullanılır. Örneğin, elektriksel ve yerçekimi alanları küresel simetri gösterir.

Küresel koordinatlar, bir noktanın konumunu rho ( ( rho)), theta ( ( theta)) ve phi ( ( phi)) olmak üzere üç koordinatla tanımlar.

( rho) başlangıç ​​noktasına olan uzaklıktır (kutupsal koordinatlarda (r) ‘ye benzer), ( theta) kutupsal koordinatlardaki açı ile aynıdır ve ( phi) açıdır (z) – ekseni ile başlangıçtan noktaya doğru olan çizgi arasında.

Kartezyen ve kutupsal veya silindirik koordinatlar arasında dönüştürme yapmakla aynı şekilde, Kartezyen ve küresel koordinatlar arasında dönüştürme yapmak mümkündür:

$$ x= rho sin phi cos theta, quad y= rho sin phi sin theta quad text {ve} quad z= rho cos phi $$

$$ p ^ 2=x ^ 2+y ^ 2+z ^ 2, quad tan theta= frac {y} {x} quad text {ve} quad tan phi= frac { sqrt {x ^ 2+y ^ 2}} {z} $$

Küresel Sistemdeki Yüzeyler:

  • ( Rho) ‘yu sabit yaparsanız, bir küreniz olur.
  • ( Theta) öğesini sabit yaparsanız, dikey bir düzleminiz olur.
  • ( Phi) öğesini sabit yaparsanız, yatay bir düzleminiz (veya bir koniniz) olur.

Enlem ve Boylam, Haritalar ve Navigasyon

Küresel koordinatların en bilinen uygulaması, Dünya yüzeyini navigasyon amacıyla bir ızgaraya bölen enlem ve boylam sistemidir. Izgara üzerindeki çizgiler arasındaki mesafeler km veya kilometre olarak değil, derece ve dakika cinsinden ölçülür.

Enlem çizgileri, yerküre boyunca yatay dilimlerdir. Ekvatordaki dilim 0 ° enlemde ve kutuplar ± 90 ° ‘de. Bu çizgilere paralel denir.

Boylam çizgileri, kutupları birbirine bağlayan dikey bir simetri çizgisinden radyal olarak ölçülen bir portakalın kamaları gibidir. Bu çizgilere meridyenler denir. 0 ° boylamın referans çizgisi, Greenwich, Londra’daki Kraliyet Gözlemevi’nden geçen Greenwich Meridyeni olarak bilinir.

Ancak bu 3B sistemi navigasyon için kullanmak için, eğimli ızgaranın bir projeksiyon kullanılarak düz ‘haritalara’ (denizciler için sahil şeridi ve okyanus tabanı haritaları) aktarılması gerekiyor. Bu şekilde grafikler, ortogonal grid sistemli geleneksel haritalar gibi kullanılabilir ve Kartezyen koordinat kuralları uygulanabilir.

Önce bir kağıt parçasını dünyanın etrafına sardığınızı ve bir silindir yaptığınızı hayal edin. Tablodaki görüntü, üç boyutlu küreden iki boyutlu bir kağıt yaprağına yansıtılır. Bu, haritacıların kullandığı Mercator Projection adı verilen özel bir yöntemdir.

Deniz haritasındaki ızgara çizgileri hala derece ve dakikadır ve mesafeler deniz mili cinsinden ölçülür. Bir deniz mili, bir dakikalık enlemle aynıdır.

Sonuç

Özellikle bunu gerektiren bir rolde çalışmadığınız sürece, kutupsal veya küresel koordinatları kullanmanız pek olası değildir, ancak ne olduklarının ve nasıl kullanıldıklarının farkında olmanız yararlıdır.

Dünya gibi 3 boyutlu bir haritanın denizcilerin yüzlerce yıldır dünyayı dolaşmasını sağlayan düz haritalara nasıl çevrilebileceğini anlamak da büyüleyici.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu