Sayısal yetenekler

Olasılık ve Giriş

Olasılık, olayların ne kadar muhtemel olacağının bilimidir. En basit haliyle, bir zarın atılmasıyla veya bir oyundaki kartların düşmesiyle ilgilidir. Ancak olasılık, bilim ve daha genel olarak yaşam için de hayati önem taşır.

Olasılık, örneğin, hava tahmini gibi çok çeşitli alanlarda ve sigorta primlerinizin maliyetini hesaplamak için kullanılır.

Profesyonel bir kumarbaz veya hava durumu tahmincisi olmasanız bile, temel olasılık anlayışı hayatta önemli bir beceridir.

Temel Olasılık: Bazı Kavramlar

Bir olayın meydana gelme olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır. Diğer bir deyişle, bir kesirdir. Bazen yüzde olarak da yazılır. Çünkü bir yüzde, paydası 100 olan bir kesirdir. Bu kavramlar hakkında daha fazla bilgi için Kesirler ve Yüzdeler sayfalarımıza bakın.

Gerçekleşmesi kesin olan bir olayın olasılığı 1 veya %100’dür ve kesinlikle meydana gelmeyecek olanın olasılığı sıfırdır. İmkansız olduğu da söyleniyor.

Olasılık nedir?

Bir olayın meydana gelme olasılığı (P):

P=O olaya yol açacak sonuçların sayısı
Toplam olası sonuç sayısı

Olasılığı bir örnekle anlamak daha kolaydır:

Farz edin ki standart bir zar atacaksınız ve 6 atma şansınızın ne olduğunu bilmek istiyorsunuz.

Bu durumda, o olaya götüren tek bir sonuç vardır (yani bir 6 atarsınız) ve toplamda 6 olası sonuç vardır (1, 2, 3, 4, 5 veya 6 atabilirsiniz).

İlgili Makaleler

Altı atma olasılığı bu nedenle 1/6’dır.

Şimdi, 1 veya 6 atma şansınızın ne olduğunu bilmek istediğinizi varsayalım. Şimdi iki olumlu sonuç var, 1 ve 6, ama yine de 6 olası sonuç.

Dolayısıyla olasılık 2/6’dır. Hangisini 1/3’e kadar azaltabilirsiniz.

Kesirleri azaltma hakkında daha fazla bilgi için Kesirler sayfamıza bakın.

Birden Fazla Olay Olasılığı

Birden fazla etkinliğiniz olduğunda, örneğin birden fazla bozuk para attığınızda veya birkaç zar attığınızda, olasılık biraz daha karmaşık hale gelir.

Bunun nedeni, daha olası sonuçlara sahip olmanızdır.

Örneğin, iki jeton attığınızda, her biri tura veya yazı düşebilir. Dolayısıyla, sadece iki olası sonuç (tura veya yazı) yerine, artık dört tane var:

İlk ParaKafaKafaKuyrukKuyruk
İkinci ParaKuyrukKafaKuyrukKafa

Daha fazla para, daha fazla olası sonuç anlamına gelecektir.

Genel bir kural olarak, olası sonuçların sayısı şuna eşittir:

Öğe başına sonuç sayısı, öğe sayısının gücüne göre.

Dolayısıyla, her biri iki olası sonuç içeren beş madeni paranız varsa, toplam olası sonuç sayısı 25=2x2x2x2x2=32’dir.

İki jeton attığınızda bir kafa ve bir kuyruk atma olasılığını hesaplamak istiyorsanız, uygun olan iki sonuç vardır (ilk jeton tura, ikincisi yazı veya birincisi yazı ve ikincisi kafalar) ve toplamda dört etkinlik. Olasılık 2/4 veya 1/2.

Olasılıktaki çoğu hata, ya olası sonuçların gerçek sayısını hesaplamamak ya da olumlu sonuçların gerçek sayısını hesaplamamaktır.

Olası tüm sonuçlara sahip olduğunuzdan emin olmak için daima zaman ayırın. Gerekirse bunları listeleyin.

Çalışılan örnek

Üç zar atarsanız, 4s, 5s veya 6s atmama olasılığınız nedir?

Her biri 6 olası sonucu olan üç zar atıyorsunuz.

Dolayısıyla, toplam sonuç sayısı 63=6 x 6 x 6=216’dır.

Her zarın üç uygun sonucu vardır: 1, 2 veya 3.

İlk iki zar için, her iki zara da 1, 2 veya 3 atmanız gerekir. Olumlu sonuçlar:

1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 3-1 3-2 3-3

Başka bir deyişle, iki zarla dokuz olumlu sonuç var. Şimdi bunların her birinin üçüncü zardan üç olası olumlu sonucu var (yani üçüncü zar 1, 2 veya 3 olabilir).

Dolayısıyla, olumlu sonuçların sayısı 9 x 3=27’dir.

Bu nedenle 4, 5 veya 6’yı üç zarla atmama olasılığı 27/216=1/8’dir.

Bağımsız ve Bağımlı Olasılık

Yukarıdaki kurallar, nesneler bağımsız olduğunda, örneğin zar veya bozuk para olduğunda geçerlidir ve ilkinin sonucu ikinci veya sonraki olayları etkilemez.

Bununla birlikte, ilk olay ikinci ve sonraki olayları etkilediğinde, yani bağımlı olduklarında daha karmaşık hale gelir.

Bağımlı Olasılık

İlk olay ikinciyi etkilediğinde birden fazla olayın olasılığı.

Bağımlı olaylar düşündüğünüz kadar sıra dışı değildir. Bir desteden kart çekmeyi düşünün. Her çekilişten sonra kartları değiştirmezseniz, her seferinde farklı sayıda olası sonucunuz olur. Bu durumda, her olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamanız ve ardından bunları bir şekilde birleştirmeniz gerekir.

Bunları birleştirme şekliniz, herhangi bir olayın veya her iki olayın (VEYA veya VE) olasılığını bilmek isteyip istemediğinize bağlıdır:

  • Her iki olayın olasılığını (VE) hesaplamak için, birinin olasılığını diğerinin olasılığı ile çarparsınız.
  • Herhangi bir olayın olasılığını (OR) hesaplamak için, birinin olasılığını diğerinin olasılığına eklersiniz.

Çalışılan örnek

Aradaki kartları değiştirmezseniz, iki çekilişte bir kart destesinden en az bir as çekme olasılığı nedir?

Pakette dördü as olmak üzere 52 kart var.

Üç olası olumlu sonuç vardır:

İki as çekebilirsin-As/As

Ya da birinci veya ikinci kart olarak bir as çekebilirsiniz-As/Değil, Değil/As.

VE/VEYA terimleriyle bunlar:

  • As VE As VEYA
  • As VE As değil VEYA
  • As ve As değil.

Bu durum sorunu çözmek için hem çarpmayı hem de toplamayı kullanmamız gerektiği anlamına gelir.

İlk senaryo: As ve As

İlk karta as çekme olasılığı 4/52=1/13’tür.

Bir as çektiğinizde, ikinci kartı çekebileceğiniz yalnızca 51 kart kaldı ve bunlardan yalnızca üçü as. İkinci bir as çekme olasılığı bu nedenle 3/51’dir. Her iki olayı da istiyorsun, bu yüzden onları çoğaltman gerekiyor.

As VE As çizme olasılığı 1/13 x 3/51=1/221

İkinci senaryo: As ve As Değil

As çekme olasılığı 1/13 olarak kalır. Ama şimdi geriye kalan 51 kartınız var, üçü hariç tümü as değil. 51−3=48.

İkinci kartta ‘as değil’ çekme şansınız bu nedenle 48/51 ve As AND Not As çekme şansı 1/13 x 48/51=16/221

Üçüncü senaryo: As ve As değil

İlk kartta ‘as değil’ çekme olasılığı (52-4)÷52=48/52

İkinci karta as çekme olasılığı 4/51’dir.

Bu nedenle As Değil VE As çizme olasılığı 48/52×4/51=16/221’dir.

Bu durumda, bunun Ace-Not Ace ile aynı olduğunu unutmayın.

Bu her zaman tüm senaryolar için geçerli olmayacaktır.

Genel olasılık

Bu nedenle, iki kart çektiğinizde en az bir as çekme olasılığı, birbirine eklenen üç senaryonun her birinin olasılığıdır (çünkü gerçekleşmesi için yalnızca birine ihtiyacınız vardır: bunlar OR olaylarıdır).

Cevap 1/221+16/221+16/221=33/221.

VE veya VEYA için eklemeniz veya çarpmanız gerekip gerekmediğini hatırlamakta güçlük çekiyorsanız, işte hatırlamanın iki kolay yolu:

  • AND için eklemezsiniz.

  • Bir madeni paradan kafa veya kuyruk atma olasılığı 1’dir (bu kesinliktir). Her sonucun olasılığı ½’dir. Bunları çarparsanız, ¼ elde edersiniz. Yapmıyorsun. Bunları eklersiniz: ½+½=1.

  • Ayrıca toplam olasılığın 1’den fazla olamayacağını da hatırlamakta fayda var. Cevabınız 1’den büyükse, çarpmak yerine muhtemelen eklemişsinizdir.

    Bir Güvence Sözü

    Tüm olası sonuçları yazdığınızda, gelişmiş olasılık toplamları çok uzun sürebilir. Ancak yapmak artık zor değil. Tüm olumlu sonuçları ve olası tüm sonuçları doğru bir şekilde hesapladığınız sürece, yapmanız gereken tek şey sayıları VE/VEYA formülüne eklemek ve doğru cevabı alacaksınız.

    İlgili Makaleler

    Bir cevap yazın

    E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

    Başa dön tuşu