Sayısal yetenekler

Üç Boyutlu Şekiller: Çokyüzlüler, Eğri Katılar ve Yüzey Alanı

Bu sayfa, üç boyutlu veya ‘katı’ şekillerin özelliklerini inceler.

İki boyutlu bir şeklin uzunluğu ve genişliği vardır. Üç boyutlu katı bir şeklin de derinliği vardır. Üç boyutlu şekiller, doğaları gereği, bir yüzeyle ayrılmış bir iç ve bir dış alana sahiptir. Tüm fiziksel nesneler, dokunabileceğiniz şeyler üç boyutludur.

Bu sayfa, hem çokgenlere dayanan, polihedron adı verilen düz kenarlı katıları hem de küreler, silindirler ve koniler gibi eğrili katıları kapsar.

Çokyüzlüler

Çokyüzlüler (veya çokyüzlüler) düz kenarlı katı şekillerdir. Çokyüzlüler, düz çizgilerle iki boyutlu düzlem şekilleri olan çokgenlere dayanır.

Çokgenlerle çalışma hakkında daha fazla bilgi için Çokgenlerin Özellikleri sayfamıza bakın.

Çokyüzlüler aşağıdakilere sahip olarak tanımlanır:

  • Düz kenarlar.
  • Düz taraflara yüz denir.
  • Köşeler denilen köşeler.

Polihedronlar genellikle sahip oldukları kenarların, yüzlerin ve tepe noktalarının sayısının yanı sıra yüzlerinin aynı şekil ve boyutta olup olmadığıyla da tanımlanır. Çokgenler gibi, çokyüzlüler de düzenli (normal çokgenlere göre) veya düzensiz (düzensiz çokgenlere göre) olabilir. Çokyüzlüler ayrıca içbükey veya dışbükey olabilir.

En temel ve tanıdık çokyüzlülerden biri küptür. Bir küp, altı kare yüze, 12 kenara ve sekiz köşeye sahip olan normal bir çokyüzlüdür.

Düzenli Çokyüzlüler (Platonik Katılar)

Beş normal katı, özel bir çokyüzlü sınıfıdır ve her birinin yüzleri aynı olan ve her bir yüzü normal bir çokgen olan özel bir polihedron sınıfıdır. Platonik katılar:

  • Dört eşkenar üçgen yüzlü tetrahedron.
  • Altı kare yüzlü küp.
  • Sekiz eşkenar üçgen yüzlü oktahedron.
  • On iki beşgen yüzlü on iki yüzlü.
  • Yirmi eşkenar üçgen yüzlü Icosahedron.

Bu normal çokyüzlülerin her birinin bir açıklaması için yukarıdaki şemaya bakın.

Prizma nedir?

Bir prizma, iki eşleşen ucu ve düz kenarı olan herhangi bir çokyüzlüdür. Bir ucuna paralel olarak uzunluğu boyunca herhangi bir yerde bir prizma keserseniz, kesiti aynıdır # iki prizma elde edersiniz. Bir prizmanın kenarları paralelkenardır # eşit uzunlukta iki çift kenara sahip dört kenarlı şekiller.

Antiprizmalar normal prizmalara benzer, uçları eşleşir. Bununla birlikte, prizmaların kenarları paralelkenarlardan değil üçgenlerden oluşur. Antiprizmalar çok karmaşık hale gelebilir.

Piramit nedir?

Bir piramit, düz kenarlı bir tepeye (üst nokta) bağlanan çokgen tabanlı bir polihedrondur.

Antik Mısırlıların inşa ettikleri gibi kare tabanlı piramitleri düşünmeye eğilimli olsak da, aslında normal veya düzensiz herhangi bir çokgen tabana sahip olabilirler. Dahası, bir piramidin tabanının tam merkezinde bir tepe noktası olabilir, bir Sağ Piramit olabilir veya bir Eğik Piramit olduğunda tepe merkezin dışında olabilir.

Daha Karmaşık Polihedronlar

Daha birçok polihedra türü vardır: simetrik ve asimetrik, içbükey ve dışbükey.

Örneğin Arşimet katıları, en az iki farklı normal çokgenden oluşur.

Kesik küp (gösterildiği gibi) 14 yüzü olan bir Arşimet katıdır. Yüzlerin 6’sı düzgün sekizgenler ve diğer 8’i düzgün (eşkenar) üçgenlerdir. Şeklin 36 kenarı ve 24 köşesi (köşeleri) vardır.

Eğrilerle Üç Boyutlu Şekiller

Kavisli veya yuvarlak bir kenar içeren katı şekiller çokyüzlü değildir. Çokyüzlülerin yalnızca düz kenarları olabilir.

Çevrenizdeki nesnelerin çoğu en azından bazı eğriler içerecektir. Geometride en yaygın kavisli katılar silindirler, koniler, küreler ve tori’dir (simitin çoğulu).

Eğrilerle Ortak Üç Boyutlu Şekiller:
SilindirKoni
Bir silindir, bir uçtan diğerine aynı kesite sahiptir. Silindirler, bir daire veya bir ovalin iki özdeş ucuna sahiptir. Benzer olmasına rağmen, silindirler prizma değildir, çünkü bir prizmanın (tanım gereği) paralelkenarı, düz kenarları vardır.Bir koninin dairesel veya oval bir tabanı ve bir tepesi (veya tepe noktası) vardır. Koninin kenarı apekse doğru düzgün bir şekilde incelir. Bir koni piramide benzer, ancak koninin tek bir kavisli kenarı ve dairesel bir tabanı olduğu için farklıdır.
KüreTorus
Küre veya küre şeklindeki küre, tamamen yuvarlak bir nesnedir. Bir kürenin yüzeyindeki her nokta, kürenin merkezine eşit mesafedir.Bir halka, lastik veya halka şeklinde olan normal halka simidi, daha küçük bir dairenin daha büyük bir daire etrafında döndürülmesiyle oluşturulur. Ayrıca daha karmaşık tori formu da vardır.

Yüzey alanı

Alan Hesaplama sayfamız, iki boyutlu şekillerin alanını nasıl hesaplayacağınızı açıklar ve üç boyutlu şekillerin yüzey alanını hesaplamak için bu temel bilgileri anlamanız gerekir.

Üç boyutlu şekiller için, karışıklığı önlemek için yüzey alanından bahsediyoruz.

Üç boyutlu bir şeklin yüzey alanını hesaplamak için iki boyutlu şekillerin alanı hakkındaki bilginizi kullanabilirsiniz, çünkü her yüz veya yan etkili bir şekilde iki boyutlu bir şekildir.

Bu nedenle, her yüzün alanını hesaplar ve sonra bunları bir araya getirirsiniz.

Düz şekillerde olduğu gibi, bir katının yüzey alanı birim kare cinsinden ifade edilir: cm2, inç2, m2 vb. Ölçü birimleri hakkında daha fazla bilgiyi Ölçü Sistemleri sayfamızda bulabilirsiniz.

Yüzey Alanı Hesaplamalarına Örnekler

Küp

Bir küpün yüzey alanı, bir yüzün alanı (uzunluk x genişlik) 6 ile çarpılır, çünkü altı yüzün tümü aynıdır.

Bir küpün yüzü bir kare olduğundan, yalnızca bir ölçüm yapmanız gerekir # bir karenin uzunluğu ve genişliği tanım gereği aynıdır.

Dolayısıyla bu küpün bir yüzü 10×10 cm=100cm2’dir. Bir küpteki yüzlerin sayısını 6 ile çarpın ve bu küpün yüzey alanının 600 cm2 olduğunu buluyoruz.

Diğer Normal Çokyüzlüler

Benzer şekilde, diğer normal polihedronların (platonik katılar) yüzey alanı, bir tarafın alanını bularak ve ardından cevabı toplam kenar sayısıyla çarparak hesaplanabilir # yukarıdaki Temel Çokyüzlüler diyagramına bakın.

On iki yüzlü oluşturan bir beşgenin alanı 22cm2 ise, cevabı 264cm2 vermek için bunu toplam kenar sayısıyla (12) çarpın.

Piramit

Dört eşit üçgen kenarı ve bir kare tabanı olan standart bir piramidin yüzey alanını hesaplamak için:

İlk önce taban (kare) uzunluk×genişlik alanını hesaplayın.

Daha sonra bir tarafın alanını (üçgen) hesaplayın. Taban boyunca genişliği ve ardından üçgenin yüksekliğini (eğim uzunluğu olarak da bilinir) tabandaki merkezi noktadan tepeye kadar ölçün.

Ardından, yanıtınızı 2’ye bölerek size bir üçgenin yüzey alanını verebilir ve ardından dört kenarın da yüzey alanını vermek için 4 ile çarpabilir veya bir üçgenin yüzey alanını 2 ile çarpabilirsiniz.

Son olarak, piramidin toplam yüzey alanını bulmak için taban ve yanların alanını toplayın.

Diğer piramit türlerinin yüzey alanını hesaplamak için, taban alanını (taban alanı olarak bilinir) ve yanların alanını (yanal alan) toplayın, kenarları ayrı ayrı ölçmeniz gerekebilir.

Net Diyagramlar

Geometrik bir ağ, üç boyutlu bir nesne için iki boyutlu bir “model” dir. Ağlar, üç boyutlu bir nesnenin yüzey alanını hesaplarken yardımcı olabilir. Aşağıdaki diyagramda basit piramitlerin nasıl inşa edildiğini görebilirsiniz, eğer piramit ‘açılmışsa’ ağda kalırsınız.

Ağ diyagramları hakkında daha fazla bilgi için 3B Şekiller ve Ağlar sayfamıza bakın.

Prizma

Bir prizmanın yüzey alanını hesaplamak için:

Prizmaların iki ucu aynı ve paralelkenar kenarları vardır.

Bir ucun alanını hesaplayın ve 2 ile çarpın.

Normal bir prizma için (tüm kenarların aynı olduğu), kenarlardan birinin alanını hesaplayın ve toplam kenar sayısı ile çarpın.

Düzensiz prizmalar için (farklı kenarlı) her iki tarafın alanını hesaplayın.

Prizmanın toplam yüzey alanını bulmak için iki cevabınızı bir araya getirin (uçlar×kenarlar).

Silindir

Misal:
Yarıçap=5cm
Yükseklik=10cm

Bir silindirin yüzey alanını hesaplamak için şeklin bileşen parçalarını düşünmek yararlıdır. Bir kutu tatlı mısır düşünün # üstte ve altta her ikisi de daire şeklindedir. Kenarı uzunluğu boyunca kesip düzleştirirseniz bir dikdörtgen elde edersiniz. Bu nedenle, iki dairenin ve bir dikdörtgenin alanını bulmanız gerekir.

Önce dairelerden birinin alanını çalışın.

Bir dairenin alanı π (pi)×yarıçap2’dir.

5 cm’lik bir yarıçap varsayıldığında, dairelerden birinin alanı 3,14×52=78,5 cm2’dir.

157cm2 iki daire olduğu için cevabı 2 ile çarpın

Silindirin kenarının alanı, dairenin çevresi×silindirin yüksekliğidir.

Çevre, π x 2×yarıçapa eşittir. Örneğimizde, 3,14×2×5=31,4

Silindirin yüksekliğini ölçün # bu örnek için yükseklik 10 cm’dir. Kenar yüzey alanı 31.4×10=314cm2’dir.

Toplam yüzey alanı, dairelerin alanı ve kenarları birbirine eklenerek bulunabilir:

157+314=471cm2

Misal:
Yarıçap=5cm
Eğim Uzunluğu=10cm

Koni

Bir koninin yüzey alanını hesaplarken, ‘eğimin’ uzunluğunun yanı sıra tabanın yarıçapını kullanmanız gerekir.

Ancak, aşağıdakileri hesaplamak nispeten kolaydır:

Koninin tabanındaki dairenin alanı, π (pi)×yarıçap2’dir.

Bu örnekte toplam 3,14×52=3,14×25=78,5 cm2’dir.

Kenar alanı, eğimli bölüm, bu formül kullanılarak bulunabilir:

π (pi)×yarıçap×eğim uzunluğu.

Örneğimizde toplam 3.14×5×10=157cm2’dir.

Son olarak, koninin toplam yüzey alanını elde etmek için taban alanını yan alana ekleyin.

78,5+157=235,5 cm2

Tenis topu:
Çap=2,6 inç

Küre

Bir kürenin yüzey alanı, bir dairenin alanı için formülün nispeten basit bir genişlemesidir.

4×π×yarıçap 2.

Bir küre için çapı, yani küre boyunca olan mesafeyi ölçmek genellikle daha kolaydır. Daha sonra çapın yarısı olan yarıçapı bulabilirsiniz.

Standart bir tenis topunun çapı 2,6 inçtir. Yarıçap bu nedenle 1.3 inçtir. Formül için yarıçapın karesine ihtiyacımız var. 1,3×1,3=1,69.

Bir tenis topunun yüzey alanı bu nedenle:

4×3,14×1,69=21,2264 inç 2.

Misal:
R (Büyük Yarıçap)=20 cm
r (Küçük Yarıçap)=4 cm

Torus

Bir simidin yüzey alanını hesaplamak için iki yarıçap değeri bulmanız gerekir.

Büyük veya büyük yarıçap (R), deliğin ortasından halkanın ortasına kadar ölçülür.

Küçük veya küçük yarıçap (r), halkanın ortasından dış kenara kadar ölçülür.

Diyagram, bir örnek simitin iki görünümünü ve yarıçaplarının (veya yarıçaplarının) nasıl ölçüleceğini gösterir.

Yüzey alanını bulmak için hesaplama iki kısımdır (her yarıçap için bir tane). Hesaplama her bölüm için aynıdır.

Formül şöyledir: yüzey alanı=(2πR) (2πr)

Örnek simitin yüzey alanını bulmak için.

(2×π×R)=(2×3,14×20)=125,6

(2×π×r)=(2×3,14×4)=25,12

Örnek simitin toplam yüzey alanını bulmak için iki yanıtı çarpın.

125,6 x 25,12=3155,072cm2.

Bir Katı Doldurmak: Hacim

Üç boyutlu şekillerde, ne kadar hacme sahip olduklarını da bilmeniz gerekebilir.

Başka bir deyişle, onları su veya hava ile doldurursanız, ne kadar doluma ihtiyacınız olur?

Bu, Hacmi Hesaplama sayfamızda ele alınmıştır.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu